Question

（2009•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60度．

（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件知：∠BAC=30°，已知AB的长，根据直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长，即⊙O的直径；
（2）根据切线的性质知：OC⊥CD，根据OC的长和∠COD的度数可将OD的长求出，进而可将BD的长求出；
（3）应分两种情况进行讨论，当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BAC，可将时间t求出；
当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BCA，可将时间t求出．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°；
∴AB=2BC=4cm，即⊙O的直径为4cm．

（2）如图（1）CD切⊙O于点C，连接OC，则OC=OB=×AB=2cm．
∴CD⊥CO；∴∠OCD=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠COD=2∠BAC=60°；
∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°；
∴OD=2OC=4cm；
∴BD=OD-OB=4-2=2（cm）；
∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．

（3）根据题意得：
BE=（4-2t）cm，BF=tcm；
如图（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC；
∴BE：BA=BF：BC；
即：（4-2t）：4=t：2；
解得：t=1；
如图（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA；
∴BE：BC=BF：BA；
即：（4-2t）：2=t：4；
解得：t=1.6；
∴当t=1s或t=1.6s时，△BEF为直角三角形．
点评：本题考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．