精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心,且点B在扇形内,要使扇形ODE绕点O无论怎样转动,△精英家教网ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的
13
,扇形的圆心角应为多少度?说明你的理由.
分析:因为重叠部分总等于三角形面积的
1
3
,可以先从三角形考虑,O为中心也就是与正三角形的中心角重合,所以应为120°,证明是要分两种情况:即特殊和一般,特殊情况时就是猜想所用的情况,显然成立,一般情况的证明从三角形全等把四边形的面积分解成两个三角形,最后再归到正三角形的中心角为120°的三角形.
解答:精英家教网解:当扇形的圆心角为120°时,△ABC与扇形重叠部分的面积,总等于△ABC的面积的
1
3

证明如下:
(1)当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时:
显然,△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的
1
3

(2)当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时:
如图,连接OA、OB,设OD交AB于F,OE交BC于G,
∵O是正三角形的中心,
∴OA=OB,∠OAF=∠OBG,
∠AOB=
1
3
×360°=120°(等边三角形的中心角等于
360°
3
),
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=120°-∠BOF,精英家教网
∠BOG=120°-∠BOF,
∴∠AOF=∠BOG,
在△AOF和△BOG中
∠OAF=∠OBG
OA=OB
∠AOF=∠BOG

∴△AOF≌△BOG(ASA),
即S四边形OFBG=S△AOB=
1
3
S△ABC
即△ABC与扇形重叠部分的面积,总等于△ABC的面积的
1
3

同理可证,当扇形ODE旋转至其他位置时,结论仍成立.
由(1)、(2)可知,当扇形的圆心角为120°时,△ABC与扇形重叠部分的面积,总等于△ABC的面积的
1
3
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;猜想时从三角形考虑是解答本题的突破点,证明时一般情况的证明容易被学生忽视.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,正三角形ABC的边长为12,三个全等的小正三角形重心(即三条中线的交点)与正三角形ABC的顶点重合,且他们各有一边与正三角形ABC的一边平行.若小正三角形的边长为x,且0<x≤12,阴影部分的面积为S,则能反映S与x之间函数关系的大致图象是(  )
A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,正三角形ABC的边长为1cm,将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1,形成扇形D1;将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2,形成扇形D2;将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3,形成扇形D3;将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4,形成扇形D4….设ln为扇形Dn的弧长(n=1,2,3…),回答下列问题:
(1)按照要求填表:
 1  4
ln         
(2)根据上表所反映的规律,试估计n至少为何值时,扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周(设地球赤道半径为6400km).
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,正三角形ABC的边长为l,点M,N,P分别在边BC,AB上,设BM=x,CN=y,AP=z,且x+y+z=1.
(1)试用x,y,z表示△MNP的面积
(2)求△MNP面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•十堰)如图,正三角形ABC的边长是2,分别以点B,C为圆心,以r为半径作两条弧,设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S,当
2
≤r<2时,S的取值范围是
π
2
-1≤S<
3
-
3
π
2
-1≤S<
3
-
3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,正三角形ABC内接于圆O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A,B重合,则∠BPC=
60°
60°

查看答案和解析>>

同步练习册答案