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    如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
    （1）求sin∠ABC的值；
    （2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
    （3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值．
    （2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形．
    （3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
    解答：解：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．
    ∵OA＞OB
    ∴OA=4，OB=3．
    在Rt△AOB中，由勾股定理有AB==5，
    ∴sin∠ABC=．

    （2）∵点E在x轴上，S△AOE=，即AO×OE=，
    解得OE=．∴E（，0）或E（-，0）．
    由已知可知D（6，4），设yDE=kx+b，
    当E（，0）时有，
    解得．
    ∴yDE=x-．
    同理E（-，0）时，yDE=．
    在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=；
    在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；
    ∵，
    ∴△AOE∽△DAO．

    （3）根据计算的数据，OB=OC=3，
    ∴AO平分∠BAC，
    ①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
    所以点F与B重合，
    即F（-3，0），
    ②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
    点F（3，8）．
    ③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
    L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点，
    ∴F（-，-），
    ④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=×=，
    ∴F（-，）．
    综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；
    F3（-，-）；F4（-，）．
    点评：一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比；相似三角形对应边成比例；给定两个点作为菱形的顶点，那么这两个点可能是菱形的对角所在的顶点，也可能是邻角所在的顶点．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=4cm，AB=12cm，CD=8cm点P从A开始沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
    （1）t为何值时，四边形APQD是平形四边形？
    （2）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么，t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．
    （1）求图 ②中∠BCB′的大小；
    （2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
    （1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
    （2）如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=
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    时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察与发现：
    （1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？
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    实践与运用：
    如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．
    （2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由；
    （3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．
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    科目：初中数学 来源：2011年河北省唐山市玉田县八年级第一学期期中考试数学卷 题型：解答题

     

    1.观察与发现：

    在一次数学课堂上，老师把三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过A点的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．有同学说此时的△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

    2.实践与运用

    将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．试问：图⑤中∠的大小是多少？(直接回答，不用说明理由)．

     

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