Question

【题目】如图1，四边形内接于直径为的圆，．

（1）①_ ；

②四边形的周长最大值为_ ；

如图2，延长相交于点，延长相交于点求与的积；

如图3，连接请问在线段上是否存在点与点关于直线对称，若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）108；（3）存在，理由见解析

【解析】

（1）①连接BD，根据题意得出△ABD为等边三角形，再分别作△ABD三边的垂直平分线BE、DF、AM交于点O，则点O即为该圆的圆心，之后利用求出DM，由此进一步求解即可得出答案；②如图，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，再过点B作BF垂直于ED的延长线于点F，根据题意进一步证明△DCE为等边三角形，从而得出BC+CD=BC+CE=BE，然后进一步分析得出当时，BE最大，据此通过分析即可得出答案；

（2）连接，根据题意首先证明∠1=∠F，∠2=∠E，从而得出，然后利用相似三角形性质得出，据此即可求出；

（3）作点与点关于直线对称，并连接，，结合（2）中的证明得出，由此可得，即，据此，根据题意再接着证明，从而即可得出、、在同一直线上，即在线段上存在点与点关于直线对称．

（1）

①

如图，连接BD，

∵AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，

再分别作△ABD三边的垂直平分线BE、DF、AM交于点O，则点O即为该圆的圆心，

∴AO=DO=BO=6，∠ODM=30°，

∴，

∴，

∴；

②如图，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，再过点B作BF垂直于ED的延长线于点F，

∵∠A=60°，

∴∠DCB=120°，

∴∠DCE=60°，

∵DC=CE，

∴△DCE为等边三角形，

∴∠E=60°，BC+CD=BC+CE=BE，

在Rt△BFE中，，

∵，

∴当时，BE最大，

∴此时，

∴四边形的周长最大值为：，

故答案为：①；②；

（2）如图，连接，

∵∠A=60°，AB=AD，四边形内接于圆，

∴∠DCB=120°，∠ADB=∠ABD=60°，，

∴∠1+∠E=∠ABD=60°，，，

∴∠1=∠F，∠2=∠E，

∴，

∴，

∴；

（3）存在，理由如下：

如图，作点与点关于直线对称，并连接，，

∵△ABD是等边三角形，点与点关于直线对称，

∴60°，60°，，

∴60°，

由（2）可知：

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

∴、、在同一直线上，

∴在线段上存在点与点关于直线对称．