Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

解：（1）在中，令y=0，即，解得x₁=﹣4，x₂=2。
∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
（2）由得，对称轴为x=﹣1。
在中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中，。
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L₁和L₂，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。

设L₁交y轴于E，过C作CF⊥L₁于F，则CF=h=，
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
，解得。来源:21
∴直线AC解析式为。来源:21世纪教育网]
直线L₁可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线L₁的解析式为。
则D₁的纵坐标为。∴D₁（﹣4，）。
同理，直线AC向上平移个长度单位得到L₂，可求得D₂（﹣1，）。
综上所述，D点坐标为：D₁（﹣4，），D₂（﹣1，）。
（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。
在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，
FN=MN•cos∠MFE=3×。
则ON=。∴M点坐标为（，）。
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=k₁x+b₁，则有，解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。

解析