Question

【题目】如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为=2cm/s，=1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示BP=______，BQ=_______；

（2）当t为何值时，△BPQ为等边三角形？

（3）当t为何值时，△BPQ为直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）6-2t，t.（2）当t=2s时△PBQ为等边三角形；（3）当t为1.5s或2.4s时△PBQ为直角三角形．

【解析】

（1）由题意可知AP=2t，BQ=t.再根据线段的和差关系即可求解；

（2）当△PBQ为等边三角形时，则有BP=BQ，即6-2t=t，可求得t；
（3）当PQ⊥BQ时，在Rt△PBQ中，BP=2BQ，可得6-2t=2t；当PQ⊥BP时，可得BQ=2BP，可得2t=2（6-2t）分别求得t的值即可．

解：（1）依题意，得：AP=2t，BQ=t.

∵AB=6,

∴BP=AB-AP=6-2t.

故答案为6-2t，t.

由（1）可知AP=2t，BQ=t，则BP=AB-AP=6-2t，

∵△PBQ为等边三角形，

∴BP=BQ，

即6-2t=t，

解得t=2，

∴当t=2s时△PBQ为等边三角形；
（3）①当PQ⊥BQ时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴在Rt△PBQ中，BP=2BQ，
即6-2t=2t，
解得t=1.5；
②当PQ⊥BP时，同理可得BQ=2BP，即t=2（6-2t），解得t=2.4，
综上可知当t为1.5s或2.4s时△PBQ为直角三角形．