Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，E为BC中点，AB＝DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若∠C＝60°，CD＝4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）12

【解析】

（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出BE＝ED＝EC，再由边关系推出角相等进而推出平行，由双平行推出平行四边形，加上邻边相等的平行四边形是菱形，可以推出结论．

（2）作DF⊥BC于F，利用的直角三角形，求出DF的长度，再由梯形的面积公式即可求出．

证明：（1）∵BD⊥DC，E为BC中点，

∴BE＝ED＝EC，

∴∠DBE＝∠BDE；

又AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBE，

∴∠ADB＝∠BDE，

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB

∴∠BDE＝∠ABD

∴DE∥AB

又∵AD∥BC，即AD∥BE，

∴四边形ABCD为平行四边形

又AB＝AD，

∴平行四边形ABCD为菱形．

（2）由（1）得，BE＝EC＝AD＝DE，

∵∠C＝60°，

∴△DEC为等边三角形．

作DF⊥BC于F，则 ，

BC＝2BE＝2AD＝8，

∴S梯形ABCD＝ （AD+BC）×DF＝×（4+8）×2 ＝12．