Question

已知直线与x、y轴分别交于A、B两点，抛物线过A、B两点，
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在一点P（除点A外），使点P关于直线的对称点Q恰好在x轴上？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标，并求得此时四边形APBQ的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线y₁与x、y轴分别交于A、B两点，求得A与B的坐标，然后由待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先过点P作PH⊥OA于H，由OB=，OA=3，根据tan∠BAO=，即可求得∠BAO=30°，又由PQ关于AB对称，∠OAB=60°，然后设P的坐标为（x，-x²+x+），即可求得点P的坐标，继而求得此时四边形APBQ的面积．
解答：解：①∵直线y₁与x、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=，
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，），
∵抛物线y₂过A、B两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x+=-（x-1）²+；

（2）如图，过点P作PH⊥OA于H，
∵OB=，OA=3，
∴tan∠BAO==，
∴∠BAO=30°，
∵PQ关于AB对称，
∴∠OAP=60°，
设P的坐标为（x，-x²+x+），
∴OH=x，AH=3-x，
∴tan∠OAP=tan60°===，
解得：x=2或x=3（舍去），
∴点P（2，），
∴AP=2，
∴PQ=2，
∵AB=2，
∴S_{四边形APBQ}=PQ•AB=×2×2=2．
∴存在，点P的坐标为（2，），此时四边形APBQ的面积为2．
点评：此题考查了二次函数的综合应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．