Question

如图1,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A（2,0）、B（8,0）、C（8,3）．将直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为t秒．

（1）当t＝_________时,直线l经过点A．（直接填写答案）
（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,试求S＞0时S与t的函数关系式．
（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M,在直线l出发的同时,⊙M以每秒2个单位的速度向右运动,如图2所示,则当t为何值时,直线l与⊙M相切？

Answer 1

（1）1;
（2）当1＜t≤时,S＝;
当＜t≤3时,S＝9t－;
当3＜t≤时,S＝－ (3t－10)²＋18;
当t＞时,S＝18;
（3）t＝5－或t＝5＋．

试题分析:（1）y＝－3x－3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;
（2）求出直线l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情况讨论;
（3）分两种情况讨论,借助三角形相似即可．
试题解析:(1)y＝－3x－3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;
（2）由题意,可知矩形ABCD顶点D的坐标为(2,3)． 
由一次函数的性质可知,当t由小到大变化时,直线l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次扫过矩形ABCD的不同部分． 
可得当直线经过A(2,0)时,t=1;当直线经过D(2,3)时,t=;当直线经过B(8,0)时,t=3;当直线经过C(8,3)时,t=． 
①当1＜t≤时, 如图所示． 

设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与AD交于点Q．
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 
令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9． 
∴S=S_△APQ=AP•AQ=(3t﹣3)( 9t﹣9)=;
②当＜t≤3时,如图所示． 

设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与CD交于点Q． 
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 
令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4． 
S=S_梯形APQD=(DQ+AP)•AD=9t－;
③当3＜t≤时,如图所示． 

设直线l:y=-3x+9t﹣3与BC交于点P,与CD交于点Q． 
令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t; 
令y=3,可得x= 3t﹣2,∴DQ= 3t﹣4,CQ=10﹣3t． 
S=S_矩形ABCD﹣S_△PQC=18﹣CP•CQ=－(3t－10)²＋18;
④当t＞时,S=S_矩形ABCD=18．
综上所述, S与t的函数关系式为:
;
(3)若直线l:y=﹣3x+9t﹣3与⊙M相切,如图所示,应有两条符合条件的切线．

设直线与x轴、y轴交于A、B点,则A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA．
由题意,可知⊙M与x轴相切,设切点为D,连接MD; 
设直线与⊙M的一个切点为P,连接MP并延长交x轴于点G;过P点作PN⊥MD于点N,PH⊥x轴于点H． 
易证△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN． 
在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM²=PN²+MN²,解得: MN=,PN=, 
∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,
∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直线解析式求得:t=5﹣; 
同理,当切线位于另外一侧时,可求得:t=5+．
考点:动点问题．