Question

如图，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中点，连接DE、EF和DF．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝45°，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）若∠A：∠DFE＝5：2，BC=4，求△DEF的面积．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由见试题解析；（3）1．

试题分析：（1）由直角三角形斜边上直线的性质可得：EF=BC=DF；故△DEF为等腰三角形；
（2）由△BEF和△DFC为等腰三角形和∠A=45°，求出∠EFD的度数即可；
（3）设∠A=5，则∠DFE=2，用（2）类似的方法求出∠DFE=30°，作出△EDF边DF上的高EG，求出EG的长即可．
试题解析：（1）证明：∵BD、CE是高，F是BC中点，∴EF=BC=DF，∴△DEF是等腰三角形．
（2）△DEF是等腰直角三角形；理由：∵∠A＝45°，∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°，∵EF=BC=DF，∴∠EBF=∠FEB，同理，∠DCF=∠FDC，∴∠FEB+∠FDC=135°，
∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°，∴∠DFE=180°-90°=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．
（3）作EG⊥DF于G，设∠A＝5，∠DFE＝2，∵EF=BF，DF=FC，∴∠FBE=∠BEF，∠FCD=∠FDC，
∴∠BFE+∠CFD=180°－2∠FBE+180°－2∠FCD=2(180°－∠FBE－∠FCD)=2∠A=，∵，∴∠DFE＝2，∵BC=4，∴DF=EF=2，∴EG=1，∴△DEF面积1．