Question

如图，点C是直径为4的半圆O上的一个动点（与A、B两点不重合），CD⊥AB于D，点P是线段AC的中点，设BD=x，DP=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）如果∠B=

1

2

∠A，求BD的长；
（3）是否存在这样的x，使tanB=

1

2

，如果存在，请求出x的值？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OP，由垂径定理得到OP与AC垂直，又CD与AB垂直，得到一对直角相等，再由∠A为公共角，根据两对对应角相等的三角形相似，得到三角形AOP与三角形ACD相似，由相似得比例，再由直角三角形ACD中，P为斜边AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AP=PD=y，由直径为4得到圆的半径OA=2，且AD=AB-BD=4-x，分别把表示出的各条边代入得到的比例式中，即可得到y与x的关系式，根据x表示线段BD故x大于0，且负数没有平方根得到x小于4（D不与A、B重合，故x不等于4），从而得到函数的定义域；
（2）由∠B=

1

2

∠A得到∠A=2∠B，而AP=PD，根据等边对等角得到∠A=∠PDA，故∠PDA=2∠B，又∠PDA为三角形PDB的外角，根据三角形的外角性质得∠PDA=∠B+∠BPD，等量代换得到∠BPD=∠PBD，根据等角对等边得到PD=BD，即y=x，把（1）得到的函数关系式中y换为x，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到BD的长；
（3）在直角三角形ACD中，由AD与AC的长，根据勾股定理表示出CD的长，由PE与CD都与AD垂直得到PE与CD平行，根据P为AC中点得到E为AD中点，即PE为三角形ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到PE等于CD的一半，进而表示出PE，又E为AD的中点，得ED等于AD的一半，即DE等于AD-BD的一半，表示出ED的长，用DE+BD表示出EB的长，在直角三角形PBE中，根据正切函数的定义列出关于x的方程，由根的判别式小于0得到此方程无解，故不存在这样的x，使tanB为

1

2

．

解答：解：（1）连接OP，
∵P是AC的中点，
∴OP⊥AC，又CD⊥AB，
∴∠OPA=∠CDA=90°，又∠OAP=∠CAD，
∴△AOP∽△ACD，
∴

AP

AD

=

AO

AC

，
∵P为AC中点，
∴AP=PC=

1

2

AC，又CD⊥AD，即△ADC为直角三角形，
∴DP=

1

2

AC，又AB=4，DP=y，BD=x，
∴AC=2y，AP=y，AO=2，AD=4-x，
∴

y

4-x

=

2

2y

，
∴y=

4-x

（0＜x＜4）；

（2）当∠B=

1

2

∠A时，
∵AP=DP，
∴∠A=∠PDA，
∵∠B=

1

2

∠A，即∠A=2∠B，
∴∠PDA=2∠B，又∠PDA为△PDB的外角，
∴∠PDA=∠B+∠BPD，
∴∠B=∠BPD，
∴DP=DB，
即y=x，即x²+x-4=0，
解得：x₁=

-1+ 17

2

，x₂=

-1- 17

2

（舍去），
∴BD=

17 -1

2

；

（3）作PE⊥AO，又CD⊥AB，
∴PE∥CD，又P为AC中点，
∴E为AD中点，即PE为△ACD的中位线，
在直角三角形ACD中，AC=2y，AD=4-x，又y=

4-x

根据勾股定理得：CD=

AC2-AD2

=

4y2-(4-x)2

=

16-4x-(16-8x+x2)

=

4x-x2

，
∴PE=

1

2

CD=

1

2

4x-x2

，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴E为AD中点，即ED=

1

2

AD=

1

2

（AB-BD）=

1

2

（4-x），
∴BE=DE+BD=

4-x

2

+x=

4+x

2

，
∴tgB=

1 2 4x -x2

1 2 (4+x)

=

1

2

，
化简得：5x²-8x+16=0，
∵△=（-8）²-4×5×16=＜0，即方程无实根，
∴不存在这样的x，使tanB=

1

2

．

点评：此题综合考查了相似三角形的判断与性质，三角形的中位线定理，勾股定理以及一元二次方程的解法，是一道探究型的题，第一问是探究两变量之间的关系，利用垂径定理添加辅助线，构造相似三角形是解本问的关键；第三问是探究存在性的题，解答此类题常常先对结论作出存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件、图形以及已证的条件，借助数学思想和方法，进行正确的计算和推理，若矛盾，说明不存在；若无矛盾，说明假设正确．