如图.平面直角坐标系中.四边形OABC为矩形.点A.B的坐标分别为.动点M.N分别从O.B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中.点M沿OA向终点A运动.点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA.交AC于P.连接NP.已知动点运动了x秒．(1)P点的坐标为( . ),(2)试求△NPC面积S的表达式.并求出面积S的最大值及相应的x值,(3)设四边形OMPC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，

交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为（

，

）（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）设四边形OMPC的面积为S₁，四边形ABNP的面积为S₂，请你就x的取值范围讨论S₁与S₂的大小关系并说明理由；
（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？

分析：（1）首先根据题意得到C、M、N三点的坐标值．根据三角形中三角函数的关系，进而得到P点的坐标值．
（2）设△NPC的面积为S．在△NPC，根据（1）可知CN的长关于x的表达式，NC边上的高关于x的表达式．再利用三角形面积的计算公式求得，S关于x二次函数表达式．在x的取值范围内求该二次函数的最大值．
（3）根据梯形的面积计算公式写出S₁关于x的表达式，根据S₂=S_△ABC-S_△PCN写出关于x的关系式．再就0＜x＜4的取值，讨论S₁与S₂的大小关系．
（4）首先延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．再分解就①若NP=CP；②若CP=CN；③若CN=NP三种情况讨论x的取值．

解答：解：（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
∴点P坐标为(x，3-

x)（2分）

（2）设△NPC的面积为S，
在△NPC中，NC=4-x，NC边上的高为

x，其中，0≤x≤4，
∴S=

（4-x）×

x=-

（x-2）²+

，
∴S的最大值为

，此时x=2（3分）

（3）由图形知，S₁=

(OC+MP)•OM=

(3+3-

x)•x
S₂=S_△ABC-S_△PCN=

•4•3-

(4-x)×

x；
当0＜x＜2时，S₁＜S₂；当x=2时，S₁=S₂；当2＜x＜4时，S₁＞S₂；（3分）

（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=

．
②若CP=CN，则，CN=4-x，PQ=

x，CP=

x，4-x=

x∴x=

．
③若CN=NP，则CN=4-x．∵PQ=

x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²
∴（4-x）²=（4-2x）²+（

x）²，∴x=

128

．
综上所述，x=

，或x=

128

．（3分）

点评：此题考查了二次函数、梯形面积、三角形面积的求法等重要知识点，用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．

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