Question

（1）如图1，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长相等，则AD=

2

．
（2）如图2，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB²=BC²+AC²．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根据△ACD与△BCD的周长相等可得出AC+AD=BC+BD，再由AD+BD=5，联立求解方程组即可解出AD的长．
（2）设AB=c，则c²=a²+b²，根据△ABE与△ACE的周长相等得出CE+AC=BE+AB=

1

2

（AB+BC+AC），从而设CE=x可得出x的表达式，设CF=y，可得出y的表达式，进而求出CE•CF的值．

解答：解：（1）∵△ACD与△BCD的周长相等，
∴AC+AD=BC+BD，即4+AD=3+BD，
又AD+DB=5，

BD-AD=1 AD+BD=5

解得：AD=2．
（2）设AB=c，则c²=a²+b²，
∵△ABE与△ACE的周长相等，
∴CE+AC=BE+AB=

1

2

（AB+BC+AC），
设CE=x，
∴x+b=

1

2

（a+b+c），
∴x=

1

2

（a-b+c），
设CF=y，同理可得y+a=

1

2

（a+b+c），
∴CE•CF=

1

2

（a-b+c）•

1

2

（b+c-a）=

1

4

[c²-（a-b）²]，
∵c²=a²+b²，
∴CE•CF=

1

2

ab．

点评：此题考查了勾股定理及三角形的三边关系、二元一次方程组的应用，涉及的小知识点较多，解答本题的关键是仔细审题，细化解题思路，难度较大．