Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．   
 (1)当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
 (2)已知圆O为△ABC的外接圆，若OP与圆O相切，求t的值．

Answer 1

解：(l)直线AB与圆P相切，

如图，过点P作PD⊥AB，垂足为D.    
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6 cm，BC=8 cm,    
∴AB= ( cm)．
∴P为BC的中点，
∴PB=4 cm.    
∵∠PDB=∠ACB= 90°，∠PBD=∠ABC．
∴△PBD∽△ABC.    
，
∴PD =2. 4(cm)．   
 当t=1.2时．PQ=2t=2.4(cm)  
∴PD= PQ，即圆心P到直线AB的距离等于圆P的半径．    
∴直线AB与圆P相切．
(2) ∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外切圆的直径．
∴OB=AB=5(cm)．    
连接OP，
∵P为BC的中点，
∴OP=AC=3cm    
∴点P在圆O内部，
∴圆P与圆O只能内切．   
 ∴5- 2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．    
∴圆P与圆O相切时，t的值为1或4．