Question

【题目】如图，已知和均为等腰直角三角形，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．

（1）当，，三点在同一直线上时(如图1)，求证：为的中点；

（2）将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一直线上时(如图2)，求证：为等腰直角三角形；

（3）将图1中绕点旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立，证明见解析．

【解析】

（1）利用ASA证明，可得，易证结论；

（2）由及、为等腰直角三角形的性质可得，，，由SAS可证，由全等三角形的性质易证为等腰直角三角形；

（3）由及、为等腰直角三角形的性质可得，，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可知，利用证明，由全等三角形的性质易证为等腰直角三角形.

证明：（1）∵

∴(两直线平行，内错角相等)

∵点为的中点

∴，在和中

∴

∴

∴为的中点

（2）∵

∴

∵为等腰直角三角形

∴

∵为等腰直角三角形

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵且

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴为等腰直角三角形

（3）（2）中的结论仍成立.

∵

∴

∵为等腰直角三角形

∴

∵为等腰直角三角形

∴

∵，

，

∴

∴

∵

∴

∴，

∴

∴为等腰直角三角形