Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A(0，4a)，B(3a，0)，△AOB的面积是150．

（1）求点A的坐标；

（2）点P是射线AB上的一点，点P的横坐标为t，连接PO，若△PBO的面积为S，试用含有t的式子表示S．

（3）在（2）的条件下，若点P在第一象限内，且S△PBO＝126，过P作PE⊥AB，交y轴于点D，交x轴于点E，且OB＝OD，连接AE，M为AE上一点，连接OM交PE于点N，若∠EMN+∠ABE＝180°，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(0，20)；（2）S＝|﹣10t+150|；（3）(﹣，)

【解析】

（1）由三角形的面积公式可求a的值，即可求点A坐标；

（2）先求直线AB解析式，即可求点P坐标，由三角形面积公式可求S与t的关系；

（3）先求出PD解析式，求出点E坐标，可得EO＝AO＝20，∠AEO＝45°＝∠EAO，由三角形内角和定理和余角的性质可求∠DNO＝∠FON＝45°，可得NF＝FO，由面积公式可求FO＝12，由两点距离公式可求解．

解：（1）∵A（0，4a），B（3a，0），

∴AO＝4a，BO＝3a，a＞0，

∵△AOB的面积是150．

∴AO×BO＝150，

∴6a2＝150，

∴a＝5，（负值不合题意舍去），

∴点 A（0，20）；

（2）∵a＝5，

∴A（0，20），B（15，0），

设直线AB解析式为：y＝kx+20，

∴0＝15k+20，

∴k＝﹣，

∴直线AB解析式为：y＝﹣x+20，

∵点P是射线AB上的一点，

∴点P（t，﹣t+20）

∵S＝S△POB＝×OB×|yP|

∴S＝×|﹣t+20|＝|﹣10t+150|，

（3）如图1，过点O作OF⊥DE，

∵点P在第一象限内，且S△PBO＝126，

∴126＝﹣10t+150

∴t＝，

∴点P（，）

∵OB＝OD＝15，

∴点D（0，15）

设直线DP解析式为：y＝mx+15，

∴＝m+15

∴m＝，

∴直线PD解析式为：y＝x+15，

∴设点N（x，x+15）

∵直线PD交x轴于点E，

∴点E（﹣20，0），

∴EO＝AO＝20，

∴∠AEO＝45°＝∠EAO，

∵∠DAP+∠ADP＝90°，∠ABO+∠DAP＝90°，

∴∠ADP＝∠ABO＝∠NDO，

∵∠EMN+∠ABE＝180°，∠EMN+∠AMO＝180°，

∴∠AMO＝∠ABE＝∠NDO，

∵∠AMO+∠MAO+∠AOM＝180°，∠NDO+∠DON+∠DNO＝180°，

∴∠EAO＝∠DNO＝45°，且FO⊥DE，

∴∠DNO＝∠FON＝45°，

∴NF＝FO，

∴NO＝FO，

由勾股定理可得：DE＝＝＝25，

∵S△DEO＝DO×EO＝×DE×OF

∴OF＝12，

∴NO＝12

∴（x﹣0）2+（x+15﹣0）2＝288，

∴x1＝﹣，x2＝（舍去）

∴点N坐标（﹣，）