Question

【题目】如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF=1．

（1）点E的坐标为 ， 点F的坐标为；
（2）点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
①点E′的坐标为 ， 点F′的坐标为；
②求直线E′F′的解析式；
（3）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M，N的坐标，并求出周长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）（3,1）,（1,2）
（2）（3,﹣1）,F'（﹣1,2）
（3）解：如图，∵E（3，1），F（1，2），

∴EF= ，

∵点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，

∴连接E'F'和x轴交于M，和y轴交于N，此时四边形MNFE的周长最小，

∴NF=NF'，ME=ME'，

∵E'（3，﹣1），F'（﹣1，2），

∴E'F'= =5，

∴四边形MNFE的周长的最小值为NF+MN+ME+EF

=NF'+MN+ME'+EF=E'F'+EF=5+ ．

【解析】解：（1）∵A（3，0），C（0，2），

∴OA=3，OC=2，

∵四边形OABC是矩形，

∴BC∥OA，OC∥AB，BC=OA=3，AB=OC=2，

∴B（3，2），

∵点E是AB的中点，

∴AE= AB=1，

∴E（3，1），

∵点F在BC上，且CF=1，

∴F（1，2），

所以答案是：（3，1），（1，2），

⑵①由（1）知，E（3，1），F（1，2），

∵点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，

∴E'（3，﹣1），F'（﹣1，2），

所以答案是：（3，﹣1），F'（﹣1，2）；

②设直线E'F'的解析式为y=kx+b，

∴ ，

∴ ，

∴直线E'F'的解析式为y=﹣ x+ ；