Question

【题目】如图①，在中，，．点分别是边上的动点，连接．设（），，与之间的函数关系如图②所示．

（1）求出图②中线段所在直线的函数表达式；

（2）将沿翻折，得．

①点是否可以落在的某条角平分线上?如果可以，求出相应的值；如果不可以，说明理由；

②直接写出与重叠部分面积的最大值及相应的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②与重叠部分面积的最大值为8，此时x＝4．

【解析】

（1）利用待定系数法将（3，4）和（6，0）代入y＝kx＋b即可求得直线函数关系式；

（2）①根据题意可证△DCE∽△ACB，进而可得点M在CT上，且点M不在∠ACB的平分线上，接下来分类讨论，当点M在∠CAB的平分线上或在∠CBA的平分线上时，画出相应的示意图，利用角平分线定理计算即可；

②首先考虑当点M与点T重合时的x的值，进而对x分类讨论，画出相应的示意图，利用相似三角形的性质把重叠部分的面积表示出来，再利用二次函数的顶点式即可求得最大值．

解：（1）设直线PQ为y＝kx＋b，

将（3，4）和（6，0）代入，得

解得：

∴直线PQ为；

（2）①过点C作CT⊥AB，垂足为点T，

∵，

∴在Rt△ABC中，，

∵

∴

∴，

∴在Rt△ACT中，，

∴，

由（1）可知，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵∠DCE＝∠ACB，

∴△DCE∽△ACB，

∴∠DEC＝∠ABC，

∴DE∥AB，

∵折叠，

∴点M在CT上，且点M不在∠ACB的平分线上，

∵，

∴在Rt△CDE中，，

∵

∴

∴

∴，，

如图，当点M在∠CAB的平分线上时，即AM平分∠CAT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

如图，当点M在∠CBA的平分线上时，即BM平分∠CBT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

综上所述，x的值为或；

②设与重叠部分面积为S，

如图，当点M与点T重合时，

∵折叠，

∴CD＝DT，

∴∠DCT＝∠DTC，

∵∠ATC＝90°，

∴∠DCT＝∠A90°，∠DTC＝∠DTA＝90°，

∴∠A＝∠DTA，

∴DA＝DT，

∴DA＝DC＝AC＝3，

∴当0＜x≤3时，如图，

则

∵0＜x≤3，

∴当x＝3时，S取得最大值，最大值为6，

当3＜x≤6时，如图，

∵，

∴，

∵DE∥AB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

，

∴当x＝4时，S取得最大值，最大值为8，

综上所述，与重叠部分面积的最大值为8，此时x＝4．