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    将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．

    （1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
    （2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；
    （3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．
    【答案】分析：（1）先根据折叠的性质得出DC=OC=10，在Rt△BCD中，运用矩形的性质及勾股定理得出BD=8，然后在Rt△AED中，由勾股定理得OE2=22+（6-OE）2，解方程求出OE的长，进而求出点E的坐标；
    （2）先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F，由平行线的性质得出∠OE′F=∠D′TE′，则∠D′E′F=∠D′TE′，根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′，则TG=AE′；
    （3）①由T（x，y），得出AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y，在Rt△AD′E′中，根据勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6-y）2，整理可求出y与x的函数关系式；
    ②在（1）中给出的情况就是x的最小值的状况，可根据AD的长求出x的最小值，当x取最大值时，E′F平分∠OAB，即E′与A重合，四边形AOFD′为正方形，可据此求出此时x的值，有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围．
    解答：解：（1）如图（1），∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，
    ∴DC=OC=10．
    在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，
    ∴BD==8．
    在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，
    ∴DE2=AD2+AE2，即OE2=22+（6-OE）2，
    解得 OE=，
    ∴E点的坐标为（0，）；

    （2）如图（2），∵将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，
    ∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，
    ∵D′G∥AO，
    ∴∠OE′F=∠D′TE′，
    ∴∠D′E′F=∠D′TE′，
    ∴D′T=D′E′=OE′，
    ∴TG=AE′；

    （3）①∵T（x，y），
    ∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y．
    在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，
    ∴AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6-y）2，
    整理，得y=-x2+3；

    ②结合（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而x≥2，
    当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，
    此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，即x最大为6，从而x≤6，
    故变量x的取值范围是2≤x≤6．
    点评：本题考查了图形的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，函数解析式的求法等知识，综合性较强，难度适中，主要运用数形结合的思想方法．
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    （1）如右上图，在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点E．
    ①求点E的坐标及折痕BD的长；
    ②在x轴上取两点M，N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M和点N的坐标；
    （2）如右下图，在OC，BC边上分别取点F，G，将△GCF沿GF折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点H．设OH=x，四边形OHGC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
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    （1）求点E的坐标及折痕DB的长；
    （2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标．

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    将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．精英家教网
    （1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
    （2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥C′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．
    （3）在（2）的条件下，设T（x，y）①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．
    （4）如图（3），如果将矩形OABC变为平行四边形OA″B″C″，使O C″=10，O C″边上的高等于6，其它条件均不变，探求：这时T（x，y）的坐标y与x之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系，若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式．

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    （2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；
    （3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．

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