Question

【题目】在中，，为边上一动点（点与点不重合），联结，过点作交边于点．

（1）如图，当时，求的长；

（2）设，求关于的函数解析式并写出函数定义域；

（3）把沿直线翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）过E作EM⊥AB于M，构建“一线三垂直”，即证△ACD∽△MDE,利用相似三角形对应边成比例列比例式，再结合等腰三角形性质求解；

（2）作EN⊥AB于N，用三角函数将线段EN，BN用y表示，再根据△ACD∽△NDE列出比例式，将比例式变形求解；

（3）作BH⊥AB,交AB或AB延长线于点H,作BG⊥AC，交CA延长线于G，构建直角三角形，先结合Rt△AGB和Rt△CGB，利用勾股定理求出AG，GB长，再结合Rt△ABH和Rt△DBH，利用勾股定理列含x的方程，即可求解.

解：（1）如图，过E作EM⊥AB，垂足为M,

在Rt△CAB中，AC=3，AB=4，∴tanB= ,

∵ED=EB,

∴DM=BM,

设AD=x,则DM=BM= ,

∴EM= ,

∵∠CDE=∠A=∠EMD=90°,

∴∠EDM+∠ADC=90°, ∠ACD+∠ADC=90°,

∴∠ACD=EDM,

∴△ACD∽△MDE,

∴ ,

∴ ,

∴ ，（不符合题意，舍去）.

即.

（2）如图，过E作EN⊥AB，垂足为N,

在Rt△CAB中，AC=3，AB=4，由勾股定理得BC=5,

∴sinB= ,cosB= ,tanB= ,

∴EN= ,BN=,

∴DN=

∵∠CDE=∠A=∠END=90°,

∴∠EDN+∠ADC=90°, ∠ACD+∠ADC=90°,

∴∠ACD=EDN,

∴△ACD∽△NDE,

∴ ,

∴ ,

∴

（3）如图，过B作BH⊥AB,交AB或AB延长线于点H,作BG⊥AC，交CA延长线于G，

由折叠可得CB=CB=5，BD=BD=x，

∵是等腰三角形,

∴AC=AB=3，

设AG=m，BG=n,由勾股定理得，

m2+n2=32，(m+3)2+n2=52，

解得，m= ，n= ,

∴BH=，AH=,

第一种情况：在Rt△BHD中，由勾股定理得，

解得，x=

即AD=；

第二种情况：在Rt△BHD中，由勾股定理得，

解得，x=

即AD=；

∴AD=.