Question

已知：关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过x轴上的一个固定点；
（3）关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据b²-4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m为实数）的解的情况；
（2）用十字相乘法来转换y=（m-1）x²+（m-2）x-1，即y=[（m-1）x-1]（x+1），则易解；
（3）利用（2）的解题结果x=-1，再根据两根之积等于-

1

m-1

是整数，得出m的值，进而得出平移后的解析式．

解答：解：（1）根据题意，得
△=（m-2）²-4×（m-1）×（-1）＞0，即m²＞0
解得，m＞0或m＜0        ①
又∵m-1≠0，
∴m≠1                ②
由①②，得
m＜0，0＜m＜1或m＞1．

证明：（2）由y=（m-1）x²+（m-2）x-1，得
y=[（m-1）x-1]（x+1）
抛物线y=[（m-1）x-1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m-1）x-1]（x+1）=0的两根．
解方程，得

x+1=0(1) (m-1)x-1=0(2)

，
由（1）得，x=-1，即一元二次方程的一个根是-1，
∴无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过x轴上的一个固定点（-1，0）．

（3）∵x=-1是整数，
∴只需

1

m-1

是整数．
∵m是整数，且m≠1，m≠0，
∴m=2，
当m=2时，抛物线的解析式为y=x²-1，
把它的图象向右平移3个单位长度，
则平移后的解析式为y=（x-3）²-1．

点评：（1）在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b²-4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；
（2）用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度；
（3）函数图象平移规律是向右或向左平移时X=|x+d|；向上或向下平移时Y=|y+d|．