Question

（2011•峨眉山市二模）已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
（1）若方程的两实数根互为相反数，求出k的值；
（2）等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根，求k的值．

Answer 1

分析：（1）设x₁，x₂是关于x的方程的两根，根据已知条件和根与系数的关系列出方程，然后解方程即可求出k．
（2）先利用因式分解法求出两根：x₁=2，x₂=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．

解答：解：（1）设x₁，x₂是关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
若方程的两实数根互为相反数，
根据已知条件和根与系数的关系列出方程得，
2k+1=0，
解得k=-

1

2

．

（2）∵x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
∴x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=

3

2

，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分类思想的运用、等腰三角形的性质和三角形三边的关系．