Question

【题目】如图，已知抛物线(k为常数，且)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线与抛物线的另一交点为D．

若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式；

过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若，求点D的坐标；

若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与相似，请直接写出的面积．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)或.

【解析】

求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；

利用∽，，即可求解；

分∽、∽两种情况，分别求解即可．

解：抛物线，
令，则或4，即点A、B的坐标分别为、，
把点B坐标代入直线得：，解得：，
直线BD的表达式为：，
当时，，，
把点D的坐标代入抛物线表达式得：，，
抛物线的表达式为：；
设点D的坐标为，
则：，，，
，，
∽，
，
即：，
解得：或舍去，
点D的坐标为；
由抛物线的表达式，令，则，
点C的坐标为，，
当∽时，则，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点N，则，，

，即：，，
把点代入抛物线表达式并解得：或舍去，
故点P的坐标为，
∽，，即：，
解得：，
；
∽时，
同理可得：，
，
故：的面积为或．