Question

在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（O，4）．
（1）将正方形ABCO绕点O顺时针旋转30°，得正方形ODEF，边DE交BC于G，求G点坐标．
（2）如图，⊙O₁与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O₁于P，分别交y轴、x轴、线段BC于M、N、Q．求证：O₁N平分∠MO₁Q．

Answer 1

分析：（1）利用图形的旋转前后大小不变，可得出三角形全等．
（2）利用切线长定理可以得出．

解答：（1）解：连OG，OA=OC=4．由Rt△DOG≌Rt△COG，
∴∠DOG=∠COG=30°，∴GC=

3

3

OC=

4 3

3

，∴G（4，

4 3

3

）．

（2）证明：设⊙O₁切OA、OC、BC分别于E、F、G，连接O₁E、O₁F、O₁G，则E，O₁、G共线．
由切线长定理可证△MEO₁≌△MPO₁，△PO₁Q≌△GO₁Q，
∠EO₁M=∠PO₁M，∠GO₁Q=∠PO₁Q，∴∠MO₁Q=∠EO₁G=90°．
∵AM∥O₁F，
∴∠AMO₁=∠1，
∵△PO₁Q≌△GO₁Q，
∴∠3=∠2，
∵∠O₁MN+∠1+∠4=90°，
∠O₁MN=∠1，
∴2∠1+∠4=90°，
∵∠2+∠3+∠4=90°，∠2=∠3，
∴2∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠AMO₁=∠1=∠2，∠PO₁N=∠FO₁N，
∴∠MO₁N=∠QO₁N，O₁N平分∠MO₁Q．

点评：此题考查了切线长定理以及旋转图形前后全等，题目比较典型，同学们应细心完成．