Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于、，交轴于点．

（1）抛物线顶点的坐标为________；

（2）如图2，连接、．将沿轴方向以每秒1个单位长度的速度向右平移得到，运动时间为秒．当时，求与重叠面积与的函数解析式，并求出的最大值；

（3）如图3中，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，边与抛物线的对称轴交于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）的坐标为；（2）当时，有最大值；（3）或

【解析】

（1）根据点A和点B的坐标可得二次函数的解析式为，然后将其化为顶点式即可得出结论；

（2）根据t的取值范围分类讨论，然后利用的面积减去其余各三角形的面积即可分别求出与的函数解析式，然后利用二次函数的性质求最值即可；

（3）如图，设为，点M为（1，m），过点A′作A′P⊥y轴于P,过点C′Q⊥y轴于Q，易证△A′PO∽△OQC′，列出比例式即可求出点C′的坐标，根据三角形外角的性质和等角对等边可证为的中点，利用勾股定理求出点M的坐标即可求出点a和b，从而求出点A′的坐标．

（1）解：由已知抛物线与轴交于、，

∴二次函数的解析式为

∴，

∴顶点的坐标为．

（2）解：当x=0时，y=-3

所以点C的坐标为（0，-3）

①如图，当时，

，

∴当时，有最大值；

②如图，当时，，

∴当时，有最大值；

∵，当时，有最大值．

（3）解：如图，设为，点M为（1，m），过点A′作A′P⊥y轴于P,过点C′Q⊥y轴于Q，易证△A′PO∽△OQC′

∴

可得．

旋转过程中，若存在一点使得，则为的中点，

∵，

∴．

∴

解得：m=

∴或

∴或

解得：或

∴或．