Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c与直线交于点A和点E，点A在x轴上．抛物线y＝ax2+x+c与x轴另一个交点为点B，与y轴交于点C（0，），直线与y轴交于点D．

（1）求点D的坐标和抛物线y＝ax2+x+c的函数表达式；

（2）动点P从点B出发，沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒，连接AC、CQ、PQ．

①当△APQ是以AP为底边的等腰三角形时，求t的值；

②在点P、Q运动过程中，△ACQ的面积记为S1，△APQ的面积记为S2，S＝S1+S2，当S＝时，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）①；②．

【解析】

（1）根据题意首先求出A、D的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（2）①如图1，过点Q作QF⊥AP于点F，则AF＝PF＝AP＝（5﹣2t），AQ＝t，证得OD∥QF，得出，可求出t的值；

②如图2，过点C作CM⊥AQ于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，证明△AOD∽△CMD，求出CM，则S1可用t表示，证明△AOD∽△AQN，求出QN，则S2可用t表示，则可得出t的方程，解方程即可得出答案．

解：（1）∵直线与y轴交于点D，

∴x＝0时，y＝，

∴D（0，），

∵直线与x轴交于点A，

∴y＝0时，＝0，

∴x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0），C（0，），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为；

（2）①如图1，过点Q作QF⊥AP于点F，

若AQ＝PQ，则AF＝PF＝AP＝（5﹣2t），AQ＝t，

∵OD⊥AP，QF⊥AP，

∴OD∥QF，

∴，

∵D（0，），A（﹣1，0），

∴OD＝，AO＝1，

∴AD＝＝＝，

∴，

解得：t＝．

∴t＝时，△APQ是以AP为底边的等腰三角形．

②如图2，过点C作CM⊥AQ于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，

∵∠ADO＝∠CDM，∠AOD＝∠CMD＝90°，

∴△AOD∽△CMD，

∴，

∵CD＝OC﹣OD＝，AD＝，OA＝1，

∴，

∴CM＝，

∴S△ACQ＝S1＝AQ×CM＝＝，

∵OD⊥x轴，QN⊥x轴，

∴OD∥QN，

∴△AOD∽△AQN，

∴，

∴，

∴QN＝t，

∴S△APQ＝S2＝AP×QN＝＝，

∵S1+S2＝，

∴，

∴，

解得：t＝．

即当S＝时，t的值为．