Question

□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线BD、AC交于点O. 将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F. （∠AOF为旋转角）

（1）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；

（2）证明：当∠AOF=90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能请说明理由；如果能，求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠FAO=∠ECO，

∴在△AOF和△COE中，

∠AOF=∠COE(对顶角相等)

∠FAO=∠EOC

AO=CO，

∴△AOF≌△COE，

∴CE=AF；

（2）AC旋转后的位置如图所示．

∵∠AOF=∠BAC=90°，

∴AB∥FE，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）①可能．当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形．

∵△AOF≌△COE（已证）

∴EO=FO，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=DO，

又∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形；

②∵AB=1，BC=

∴AC==2，

∴AO=AC=1，

∴△ABO是等腰直角三角形，∠AOB=45°，

又∵∠BOF=90°，

∴∠AOF=45°，即旋转角为45°．

【解析】（1）先根据四边形ABCD是平行四边形可得出AO=CO，AD∥BC，由全等三角形的判定定理可得出△AOF≌△COE，由全等三角形的性质即可得出结论；

（2）根据平行线的判定定理得出AB∥FE，再根据四边形ABCD是平行四边形可得出AD∥BC，进而可判断出四边形ABEF是平行四边形；

（3）①由△AOF≌△COE可得出EO=FO，再根据四边形ABCD是平行四边形可知BO=DO，由于EF⊥BD，所以四边形BEDF是菱形；

②先根据△ABC是直角三角形，利用勾股定理可得出AC的长，可判断出△ABO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出∠AOF=45°，即旋转角为45°．

【解析】当x=-2时，y₁=-；当x=-1时，y₂==1;当x=1时，y₃=-1．

∴y₂＞y₁＞y₃