Question

【题目】如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在y轴上,OA和OC是方程x(3+)x+3=0的两根(OA>OC),∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE.

(1)求点D的坐标；

(2)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M，使得以M、N、D. C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）D(,)；（2）M( ,)；

【解析】

（1）由折纸可以知道CD=OC，从而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标．

（2）存在满足条件的M点，利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标．

(1) 解方程x(3+)x+3=0得：

x =,x=3

∵OA>OC

∴OA=3,OC=；

在Rt△AOC中，由勾股定理得：

AC= =2，

由轴对称得：CO=CD=，作DF⊥OA于F，

∴AD=,作DF⊥OA,且∠CAO=30°，

∴DF=，由勾股定理得：

AF= ，

∴OF=，∴OF=AF

∴D(,)；

(2)∵MN∥AC，

∠NMF=∠ADF,∠FNM=∠FAD

∵OF=AF

∴△ADF≌△NMF(AAS)，

∴MF=DF=,NF=AF=，

∴M (, )，作MG⊥OA，

∵四边形MCDN和四边形CNMD是平行四边形

∴MC=ND,ND=CM∴MC=CM

∴GO=OF=，OE=1

∴GE= ，

∴EOC△∽△EGM

∴

∴ 解得：

MG= ，

∴M( ,)