Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是ED上任意一点，过F作ED的垂线，交AD于G，交BC的延长线于H，则线段GH的长为

 

．

Answer 1

分析：首先过点G作GK⊥BC于K，易得四边形ABKG是矩形，然后根据AAS可证得△AED≌△KHG，根据全等三角形的对应边相等，求得DE=GH，又由正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，根据勾股定理即可求得DE的长，则可求得线段GH的长．

解答：解：过点G作GK⊥BC于K，
∴∠GKB=∠GKH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=2，AD∥BC，
∴四边形ABKG是矩形，∠A=∠GKH=90°，
∴AB=GK，
∴AD=GK=2，
∵GH⊥DE，
∴∠FGD+∠FDG=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠FGD，
∵AD∥BC，
∴∠H=∠FGD，
∴∠H=∠AED，
在△AED和△KHG中，

∠A=∠GKH=90° ∠AED=∠H AD=KG

，
∴△AED≌△KHG（AAS），
∴GH=AD，
∵E是AB的中点，
∴AE=

1

2

AB=1，
∴GH=DE=

AE2+AD2

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．