Question

以Rt△AOB的直角边OA、OB为y轴，x轴建立直角坐标系，AO=b，BO=a，（a＞b），Q是边OB上的动点，点Q不与B、O重合，点P是AB的中点．
（1）请写出A、B的坐标；
（2）若以点O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似，这时的Q点能有几个，请说明理由并分别求出相应的Q点、P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据OA、OB的值直接写出A、B的坐标即可；
（2）求出OP=PA=PB，推出∠ABO=∠POB，求出AB，有2种情况：①∠PQO=90°，②∠QPO=90°，根据相似三角形的判定推出即可，根据P为AB中点，求出P的坐标即可，根据相似三角形性质得出比例式，代入即可求出图2中Q的坐标．

解答：解：（1）A的坐标是（0，b），B的坐标是（a，0）．

（2）∵∠AOB=90°，P为AB中点，
∴AP=OP=PB，
∴∠POB=∠ABO．
如图Q点有2个，
图1中，PQ⊥OB，
则∠OQP=∠AOB=90°，
∵∠POB=∠ABO，
∴以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∵PQ∥OA，
∴

PQ

OA

=

PB

AB

=

BQ

OB

=

1

2

，
∴PQ=

1

2

b，BQ=0Q=

1

2

a，
即P（

1

2

a，

1

2

b），Q（

1

2

a，0）；
图2中，∠QPO=90°=∠AOB，
∵∠POB=∠ABO，
∴以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=

a2+b2

，OP=

1

2

a2+b2

，
∴

OQ

AB

=

OP

OB

，
∴

OQ

a2+b2

=

1 2 a2+b2

a

，
∴OQ=

a2+b2

2a

，
即P（

1

2

a，

1

2

b），Q（

a2+b2

2a

，0）．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．本题综合性比较强，是一道具有代表性的题目．