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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D．点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
    （1）当x=
     
    时，PQ⊥AC，x=
     
    时，PQ⊥AB；
    （2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式为
     
    ；
    （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
    （4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．
    分析：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
    若使PQ⊥AB，则根据路程=速度×时间表示出BP，BQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
    （2）首先画出符合题意的图形，再根据路程=速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解；
    （3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；
    （4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．
    解答：精英家教网解：（1）
    4
    5
    ，
    16
    5
    ，
    当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
    当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
    ∵AB=BC=CA=4，
    ∴∠C=60°；
    若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
    ∴PC=2CQ，
    ∴4-x=2×2x，
    ∴x=
    4
    5
    ；
    当x=
    4
    5
    （Q在AC上）时，PQ⊥AC；
    如图：①
    当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=
    1
    2
    x    ，AC+AQ=2x；
    ∵AC=4，
    ∴AQ=2x-4，
    ∴2x-4+
    1
    2
    x=4，
    ∴x=
    16
    5
    ，
    故x=
    16
    5
    时PQ⊥AB；
    综上所述，当PQ⊥AB时，x=
    4
    5
    或
    16
    5
    ．
    （2）y=-
    		3
    2
    x2+
    		3
    x，
    如图②，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
    ∵∠C=60°，QC=2x，
    ∴QN=QC×sin60°=
    		3
    x；
    ∵AB=AC，AD⊥BC，
    ∴BD=CD=
    1
    2
    BC=2，
    ∴DP=2-x，
    ∴y=
    1
    2
    PD•QN=
    1
    2
    （2-x）•
    		3
    x=-
    		3
    2
    x2+
    		3
    x；

    （3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
    ∴NC=x，
    ∴BP=NC，
    ∵BD=CD，
    ∴DP=DN；
    ∵AD⊥BC，QN⊥BC，
    ∴AD∥QN，
    ∴OP=OQ，
    ∴S△PDO=S△DQO，
    ∴AD平分△PQD的面积；

    （4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
    当x=
    4
    5
    或
    16
    5
    时，以PQ为直径的圆与AC相切，
    当0≤x＜
    4
    5
    或
    4
    5
    ＜x＜
    16
    5
    或
    16
    5
    ＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．
    点评：此题综合运用了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．
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    （　　）
    A、
    1
    2
    B、（
    		2
    2
    ）7
    C、
    1
    4
    D、
    1
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