Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数抛物线过点和，对称轴为直线．

（1）求二次函数的表达式和顶点的坐标．

（2）将抛物线在坐标平面内平移，使其过原点，若在平移后，第二象限的抛物线上存在点，使为等腰直角三角形，请求出抛物线平移后的表达式，并指出其中一种情况的平移方式．

Answer 1

【答案】（1），顶点的坐标是；（2）平移后抛物线表达式是，，；原抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位可得

【解析】

（1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点A(-1,0)、C(0,-2)在函数图象上，对称轴为x=1，也可求得A的对称点的坐标为(3,0),列方程组即可求得解析式;

（2）根据平移后的图象过原点，所以设y =﹣x+bx，使抛物线第二象限上的点P与AB组成的△ABP是等腰直角三角形，所以分三种情况来讨论，分别求出三种情况的解析式．

（1）由题意，得

，解得

抛物线的表达式为；

当时，，顶点的坐标是

（2）平移后抛物线过原点，可设表达式是，分三种情况：

①当为等腰直角三角形的斜边，如图所示，做轴于，

，

，，

，又，，

，，

，所以点坐标是，

把代入得，，．

所以平移后抛物线表达式是．

②当为等腰直角三角形的斜边，如图所示，

同上可得，，，

所以点坐标是，

把代入得，，．

所以平移后抛物线表达式是．

③当为等腰直角三角形的斜边，如图所示，

这时是的中点，因为，，所以，

把代入得，，．

所以平移后抛物线表达式是．这时抛物线顶点是，

可将原抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位

综上所述，平移后抛物线表达式是，，；

原抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位可得