Question

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab2+b²展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式；
（2）利用上面的规律计算：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1。

Answer 1

解：（1）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
（2）原式=2⁵+5×2⁴×（-1）+10×2³×（-1）²+10×2²×（-1）³+5×2×（-1）⁴+（-1）⁵
=（2-1）⁵
=1。