Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，点F在AC的延长线上，且CF=AC．
（1）说明：四边形DCFE是平行四边形；
（2）请说明∠A与∠F相等．

Answer 1

证明：（1）∵如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，且DE=AC．
又∵点F在AC的延长线上，且CF=AC，
∴DE∥CF，DE=CF，
∴四边形DCFE是平行四边形；

（2）∵由（1）知，四边形DCFE是平行四边形．
∴CD∥FE，
∴∠ACD=∠F．
又∵DE是△ABC的中位线，
∴CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠A=∠F．
分析：（1）根据三角形中位线定理推知DEAC，则由已知条件“CF=AC”推知EDCF，故四边形DCFE是平行四边形；
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证得AD=CD，则等边对等角：∠A=∠ACD．由（1）中平行线的性质知道∠ACD=∠F．所以由等量代换可以得到∠A与∠F相等．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理．本题利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得（1）中的结论．