Question

阅读下面的情境对话，然后解答问题

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．

1求证：ACE是奇异三角形；

2当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）真命题

（2）在RtABC 中a²＋b²＝ c²，

∵c＞b＞a＞0

∴2c²＞a²＋b²，2a²＜c²＋b²

∴若RtABC是奇异三角形，一定有2b²＝c²＋ a²

∴2b²＝a²＋（a²＋b²）

∴b²＝2a²得：b＝a

∵c²＝b²＋ a²＝3a²

∴c＝

∴a：b： c＝

(3)1∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°

在RtABC 中，AC²＋BC²＝AB²

在RtADB 中，AD²＋BD²＝AB²

∵点D是半圆的中点

∴＝

∴AD＝BD

∴AB²＝AD²＋BD²＝2AD²

∴AC²＋CB²＝2AD²

又∵CB＝CE，AE＝AD

∴AC²＝CE²＝2AE²

∴ACE是奇异三角形

2由1可得ACE是奇异三角形

∴AC²＝CE²＝2AE²

当ACE是直角三角形时

【解析】（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；

（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a²+b²=c²与a²+c²=2b²，用a表示出b与c，即可求得答案；

（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；

②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE＝去分析，即可求得结果．