Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O且AC、BD的长（）是方程的两个根.点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿边A→O→B→A的方向运动，运动时间为t（秒）.

（1）求AC和BD的长；

（2）求当AP恰好平分时，点P运动时间t的值；

（3）在运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）秒；（3）存在，综上：18秒或16.8秒或12秒或.

【解析】

(1)解方程得两根为12和16，所以，；

(2)设点运动秒时，平分，如图，过点Ｐ作于Q，利用角平分线定理把已知和未知线段都归结到直角中，利用勾股定理构造方程，可求得的值；

(3)分别以AO为腰，A为顶点；AO为腰，O为顶点；AO为底构造等腰三角形，画图，通过计算可求得答案.

(1)方程 可化成

∴

∵

故，；

(2)设点运动秒时，平分，

如图，过点Ｐ作于Q，

∵，，四边形ABCD是菱形，

∴，，

在直角中，∵，，∴；

∵平分，，，

∴,

，

，

为直角三角形，

即：，化简并求得：.

故答案是：秒.

(3)存在.

以为腰，为顶点的等腰三角形，如图：

∵

∴；

以为腰，为顶点的等腰三角形，如图：

作于E，

在Rt和Rt中：

公共，∴RtRt

，即，∴,

∵, ∴

∴；

∵,

∴；

以AO为底的等腰三角形，如图：

过作于，

，∴点F为AO中点，

四边形ABCD为菱形，∴，

又，∴,

是AB中点，,

∴；

综上：18秒或16.8秒或12秒或.