Question

7．如图，菱形ABCD中，BP=CP，MN∥AB，求证：
（1）$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AB}{DQ}$；
（2）PA²=PM•PC；
（3）AB²=BP•BN；
（4）$\frac{AB}{AN}$=$\frac{PB}{PN}$．

Answer 1

分析 （1）先根据菱形的定义得：AB∥CD，再根据MN∥AB得：MN∥AB∥CD，可知△ANM∽△ADC，△ABN∽△QDN，然后根据相似三角形的性质即可得证；
（2）根据平行证明△ABP∽△MNP，列比例式后，再证明PA=PN即可得出；
（3）先根据菱形的性质：菱形的一条对角线平分一组对角得：∠BAC=∠PAN，从而证明△ABP∽△NBA，列比例式可得结论；
（4）根据角平分线的性质得比例式即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴△ANM∽△ADC，△ABN∽△DQN，
∴$\frac{AM}{MC}=\frac{AN}{ND}$，$\frac{AN}{ND}=\frac{AB}{QD}$，
∴$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AB}{QD}$，
（2）∵MN∥AB，
∴△ABP∽△MNP，
∴$\frac{PA}{PM}=\frac{PB}{PN}$，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵AD∥BC，
∴∠PBC=∠PNA，∠PCB=∠PAN，
∴∠PNA=∠PAN，
∴PA=PN，
∴$\frac{PA}{PM}=\frac{PC}{PA}$，
∴PA²=PM•PC；
（3）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠PAN，
∵∠PAN=∠PNA，
∴∠BAC=∠PNA，
∵∠ABP=∠ABP，
∴△ABP∽△NBA，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{BN}{AB}$，
∴AB²=BP•BN；
（4）∵∠BAC=∠PAN，
∴$\frac{AB}{AN}$=$\frac{PB}{PN}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的性质和判定、角平分线的性质；能利用平行证明相应的三角形相似是关键，并熟练掌握利用乘积式化为比例式确定证明哪两个三角形．