Question

【题目】如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A(1，a)和B两点，与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的解析式及点A的坐标；

（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝，(1，2)；（2） (﹣1，0)或(3﹣2，0)或(3+2，0)或(1，0)

【解析】

（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；

（2）根据已知条件得到C（3，0），根据两点间的距离公式得到AC＝，过A作AD⊥x轴于D，当AP＝AC时，当AC＝CP＝2时，当AP＝CP时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，

∴A（1，2）

把A（1，2）代入反比例函数y＝，

∴k＝1×2＝2；

∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，

∴C（3，0），

∵A（1，2），

∴AC＝，

过A作AD⊥x轴于D，

∴OD＝1，CD＝AD＝2，

当AP＝AC时，PD＝CD＝2，

∴P（﹣1，0），

当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，

∴OP＝3﹣2或OP＝3+2

∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），

当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，

∴P（1，0），

综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．