如图①.P为△ABC内一点.连接PA.PB.PC.在△PAB.△PBC和△PAC中.如果存在一个三角形与△ABC相似.那么就称P为△ABC的自相似点．已知△ABC中.∠A＜∠B＜∠C (1)利用直尺和圆规.在图②中作出△ABC的自相似点P(不写作法.但需保留作图痕迹), (2)若△ABC的三内角平分线的交点P是该三角形的自相似点.求该三角形三个内� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C

（1）利用直尺和圆规，在图②中作出△ABC的自相似点P（不写作法，但需保留作图痕迹）；

（2）若△ABC的三内角平分线的交点P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

【答案】

(1)①作图

作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

则P为△ABC的自相似点．

②连接PB,PC．∵P为△ABC的内心，∴，．

P为△ABC的自相似点，由条件可知，只能是△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠BAC，

∠ACB＝2∠BCP=4∠BAC．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°,∴．

∴该三角形三个内角的度数分别为，，．

【解析】（1）根据题中的信息，做出△ABC的自相似点P；

（2）由自相似点的含义可知△BCP∽△ABC，得出各角之间的关系。

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（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．