Question

如图△ABC中，AB=AC，EF∥BC，且⊙O内切于四边形BCFE．
（1）当

AE

BE

=

1

2

时，sinB=

 

；
（2）当

AE

BE

=

1

n

时，sinB等于多少？请说明理由．

Answer 1

分析：作辅助线，利用圆的切线的性质构造直角三角形，求出相应各边之间的长度比，即可求出三角函数值．

解答：解：连接AO并延长交EF于点D，交BC于点H，则AH⊥BC，连接OG，则OG⊥AB
（1）∵∠BAH+∠AOG=90°，∠B+∠BAH=90°
∴∠AOG=∠B，
∵EF∥BC
∴

AD

DH

=

AE

EB

=

1

2

设⊙O的半径为r，则

AD

2r

=

1

2

∵AD=

2r

2

=r
∴AO=2r
又∵OG=r
∴AG=

(2r)2-r2

=

3

r
∴sinB=

3

2

；

（2）sinB=

2 n+1

n+2

．
设AB与⊙O相切于点G，连接OG，则OG⊥AB
∴∠AOG=∠B
∵EF∥BC
∴

AD

DH

=

AE

EB

=

1

n

设⊙O的半径为r，则

AD

2r

=

1

n

∵AD=

2r

n

∴AO=AD+r=

n+2

n

r
又∵OG=r
∴AG=

AO2-OG2

=

( n+2 n r)2-r2

=

2 n+1

n

r
∴sinB=sin∠AOG=

AG

AO

=

2 n+1 2 r

n+2 n r

=

2 n+1

n+2

．

点评：解题时要仔细分析（1），虽然（1）较简单，但是可以为（2）提供思路：求出各边的比，再求三角函数值．