Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（其中b＞0，c＜0）的顶点P在x轴上，与y轴交于点Q，过坐标原点O，作OA⊥PQ，垂足为A，且OA=

2

，b+ac=3．
（1）求b的值；
（2）求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线与x轴只有一个交点，则根的判别式△=0，联立b+ac=3，即可得到关于b的方程，从而求出b的值；
（2）可用含a、c的式子表示出P、Q的坐标，由勾股定理即可求出PQ的值，进而可根据直角三角形面积的不同表示方法求出a、c的值，从而得到抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，
∴△=b²-4ac=0，即b²=4ac；
已知b+ac=3，即ac=3-b，
可得：b²=4（3-b），
解得b=2，b=-6（舍去）；
故b的值为2；

（2）由（1）知：抛物线的解析式为y=ax²+2x+c，
则有：P（-

1

a

，0），Q（0，c）；
∴OP=-

1

a

，OQ=-c；
在Rt△OPQ中，由勾股定理得：QP=

OP2+OQ2

=

a2c2+1 a2

；
∵S_△OPQ=OP•OQ=PQ•OA，则有：

a2c2+1 a2

×

2

=（-

1

a

）×（-c），化简得：

2a2c2+2

a2

=

c2

a2

；
由于ac=3-b=1，即a=

1

c

，
得：2+2=c²，
解得c=-2（正值舍去）；
∴a=

1

c

=-

1

2

；
故抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+2x-2．

点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、勾股定理、直角三角形面积的不同表示方法等知识的综合应用能力．