Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+x+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过点B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D．

（1）求此抛物线的对称轴；

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上？

（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）对称轴为：x=；（2）当t=3时，点D落在抛物线上；（3）当t=﹣2+2、t=8+4时，以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似．

【解析】试题分析：（1）根据题意利用待定系数法求出函数解析式，从而得到对称轴；（2）根据题意得出点M的坐标，根据旋转的性质得出点E和点B的坐标，从而得到点D的坐标，然后求出t的值；（3）分0＜t＜8和t＞8两种情况，每种情况分两种情况进行讨论计算，得出t的值．

试题解析：（1）由题得，，解得．

抛物线的解析式为： ，它的对称轴为：

（2）由题意得： ， ．

是绕点P顺时针旋转90°而得， ， ．从而有．

假设在抛物线上，有， 解得

∵，即当时，点D落在抛物线上．

（3）①当时，如图，

，

（1）若△∽△ADB，此时，有： ， ，即，

化简得，此时无解。

若△∽△ADB， 此时，有： ， ，即，

化简得： ，关于的一元二次方程的判别式，

由求根公式得：

， 。

②当时，如图②，若△POA∽△ADB

（1）若△∽△ADB，此时，有：

，即，化简得，解得（负根舍去）。

（2）若△∽△ADB，同理得此时无解。

综合上述：当、时，以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似。