Question

已知二次函数．
（1）请你通过计算判断：函数的图象与x轴是否有交点？
（2）设函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，请求出点A、B、C的坐标（可用含m的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，若△ABC是等腰三角形，求二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）∵△=（3m+）²-16m=（3m-）²≥0，
∴抛物线与x轴有交点；

（2）令y=0，得mx²-（3m+）x+4=0，解得x=3或，
令x=0，得y=4，
∴A（3，0），B（，0），C（0，4）；

（3）由（2）可知AC=5，
①当AB=AC，B点在A点左边时，B（-2，0），
代入抛物线解析式，得m×（-2）²-（3m+）×（-2）+4=0，解得m=-，
②当AB=AC，B点在A点右边时，B（8，0），
代入抛物线解析式，得m×8²-（3m+）×8+4=0，解得m=，
③当AC=BC时，B（-3，0），
代入抛物线解析式，得m×（-3）²-（3m+）×（-3）+4=0，解得m=-，
④当B在AC的垂直平分线上时，AB=BC，
设B（x，0），
∴（x-3）²=x²+4²，
∴x=-，
∴B（-，0），
代入抛物线解析式，得m×（-）²-（3m+）×（-）+4=0，解得m=-，
∴二次函数解析式为：y=-x²+x+4或y=x²-x+4或y=-x²+4或y=-x²-+x+4．
分析：（1）根据二次函数解析式的判别式进行判断；
（2）分别令y=0，x=0，可求点A、B、C的坐标；
（3）根据①AB=AC，B点在A点左边，②AB=AC，B点在A点右边，③当AC=BC时，④B在AC的垂直平分线上，四种情况分别求B的坐标，代入抛物线解析式求m的值，确定抛物线解析式．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线解析式求A、C两点坐标，得出AC的长度，根据AC为腰，为底边分类求B点坐标．