Question

19．如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条，若恰好可以用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），则这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比为（　　）

• A． 2：3
• B． 3：4
• C． 1：1
• D． 4：3

Answer 1

分析 设三张宽度相等的长方形纸条的宽为x，则△ABC的高为4x，如图1，根据等腰直角三角形的性质得到AB=8x，则S_△ABC=16x²，根据平行线分线段成比例定理由DE∥AB，FG∥AB，MN∥AB得到$\frac{DE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{FG}{AB}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{MN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，则DE=2x，FG=4x，MN=6x，所以DE+FG+MN=2x+4x+6x=12x，即镶嵌所得的作品的周长为16x，所以镶嵌所得的作品的面积=16x²，然后计算这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比．

解答 解：设三张宽度相等的长方形纸条的宽为x，则等腰直角三角形的高为4x，如图1，
∴AB=8x，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•4x•8x=16x²，
∵DE∥AB，FG∥AB，MN∥AB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{FG}{AB}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{MN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE=$\frac{1}{4}$AB=2x，FG=4x，MN=6x，
∴DE+FG+MN=2x+4x+6x=12x，
∴镶嵌所得的作品的周长为12x+4x=16x，
∴镶嵌所得的作品的边长为4x，
∴镶嵌所得的作品的面积=16x²，
∴这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比为1：1．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的应用：从实物图中抽象出几何图形，再证明三角形相似，然后利用相似比计算相应的线段长．也考查了等腰三角形和正方形的性质．