Question

如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且CE=

1

2

BC．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）延长EF交AD于G，证平行四边形ACEG，推出DG=CE，证△CEF≌△DGF，推出DF=CF，根据三角形的中位线定理求出即可；
（2）根据等腰梯形的性质求出OB=EF，推出AC=BD，根据矩形的判定即可推出结论．

解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG=CE，
又∵CE=

1

2

BC，AD=BC，
∴AG=CE=

1

2

BC=

1

2

AD=GD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，
∴△CEF≌△DGF（AAS），
∴CF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF∥BC．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．
证明：∵OF∥CE，EF∥CO，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∴EF=OC，
又∵梯形OBEF是等腰梯形，
∴BO=EF，
∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．