Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点.

(1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；

(2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆.

①当点与点重合时，求证: 直线与相切；

②设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 的直径长为；(2) ①见解析；②存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.

【解析】

（1）连接BC，证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
（2）过点作于点，证明CE=ACsin45°=4×=2 =圆的半径，即可求解；
（3）假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况，分别求解即可．

（1）如图3，连接BC，

∵∠BOC=90°，

∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3

(2)如图4过点作于点，

图4

将代入，得，

∴点的坐标为.

∴，

∵，

∴.

∵点与点重合，

又的半径为，

∴直线与相切.

②假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，

∵直线经过点，

∴的函数解析式为.

记直线与的交点为，

情况一：

如图5，当点在线段上时，

由题意，得.

如图，延长交轴于点，

图5

∵，

∴，

即轴，

∴点与有相同的横坐标，

设，则，

∴.

∵的半径为，

∴，

解得，

∴，

∴的坐标为.

情况二：

当点在线段的延长线上时，同理可得，的坐标为.

∴存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.