Question

直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-

3

4

x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）①填空：⊙A的半径为

5

，b=

7

．（不需写解答过程）
②判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．
（2）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求

GF

EG

的值．
（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）①连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，求出AQ、QM，根据勾股定理求出AM即可；把M的坐标代入解析式，求出b即可；②求出B、C的坐标，证△AQM和△BQM相似，推出∠MAQ=∠BMQ，推出∠AMB=90°即可；
（2）设EG=a，根据勾股定理求出BC、AC、CM的值，根据△BEG和△BOC相似，求出BE的值，根据△BEG和△AFG相似，求出GF的值，根据BC=BE+EM+CM，代入求出a即可；
（3）有三种情况：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，根据轴对称，得出Q与O重合，即可求出Q的坐标；②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，证△MHQ≌△MDP，推出P是圆与x正半轴交点，即可求出答案；③当∠QPM=90°时，分两种情况：第一情况：P在y的左方，设P（m，n），Q（0，b）得出方程①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）²+n²=5²，解方程组即可求出b；第二情况：P在y的右方，同理能求出b的值．

解答：（1）①解：连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，
则AQ=4-1=3，MQ=4，
由勾股定理得：AM=

MQ2+AQ2

=5，
把M（4，4）代入y=-

3

4

x+b得：4=-

3

4

×4+b，
∴b=7，
故答案为：5，7．

②解：相切，
理由是：连接AF，
y=-

3

4

x+7，
当x=0时，y=7，∴C（0，7），OC=7，
当y=0时，0=-

3

4

x+7，
∴x=

28

3

，
∴B（

28

3

，0），OB=

28

3

，
∴BQ=OB-OQ=

28

3

-4=

16

3

，AQ=4-1=3，MQ=4，
∴

BQ

MQ

=

16 3

4

=

4

3

，

MQ

AQ

=

4

3

，
∴

BQ

MQ

=

MQ

AQ

，
∵∠MQA=∠MQB，
∴△AMQ∽△MBQ，
∴∠MAQ=∠BMQ，
∵∠MAQ+∠AMQ=90°，
∴∠AMQ+∠BMQ=90°，
∴AM⊥BC，
∴直线BC与⊙A的位置关系是相切．
（2）解：连接AC，
在△COB中，由勾股定理得：BC=

OC2+OB2

=

35

3

，
同理AC=5

2

，
∵AM=5，由勾股定理得：CM=5，
设EG=a，
∵EF⊥BC，
∴∠FEB=∠COB=90°，
∵∠OBC=∠OBC，
∴△BEG∽△BOC，
∴

BE

EG

=

OB

OC

，
即

BE

a

=

28 3

7

，
∴BE=

4

3

a，
∴根据切线长定理得：EM=EF=BC-BE-CM=

35

3

-

4

3

a-5，
∵EF⊥CB，AF⊥EF，
∴AF∥BC，
∴△AFG∽△BEG，
∴

AF

BE

=

FG

EG

，
∴

5

4 3 a

=

FG

a

，
∴FG=

15

4

，
∵BE+EM+CM=BC，
∴

4

3

a+a+

15

4

+5=

35

3

，
a=

5

4

，
EG=

5

4

，FG=

15

4

，
∴

GF

EG

=

15 4

5 4

=3．
（3）解：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，由对称性M，P关于X轴对称，
所以Q，O重合，Q（0，0）；
②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，
可得△MHQ≌△MDP，
即P是圆与x正半轴交点
从而Q（0，2）；
③当∠QPM=90°时，分两种情况：
第一情况：P在y的左方，如图，设P（m，n），Q（0，b）可得：
①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=2，b=-8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
第二情况：P在y的右方，同理得：
①m-4=n-b，②4-n=m，③（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=3+

41

（舍），b=3-

41

．
综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-

41

）．

点评：本题综合考查了勾股定理，等腰三角形性质，等腰直角三角形，切线的判定，相似三角形的性质和判定，轴对称性质，切线长定理，直线与圆的位置关系等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算能力，本题难度偏大，对学生提出了较高的要求，用力方程思想和分类讨论思想．