Question

如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=DH；④S_△ABE=3S_△AGE．其中正确的结论有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到AD与BC平行且相等，又E和F分别为AD与BC的中点，利用等量代换得到ED与BF相等，且平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到DEFB为平行四边形，从而得到对边DF与BE相等，选项①正确；由DF与EB平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AEG与三角形ADH相似，且相似比为1：2，故得到G为AH中点，同理得到H为CG中点，即可得到AG=GH=HC，选项②正确；从而得到EG为三角形ADH的中位线，根据中位线性质得到EG等于DH的一半，选项③正确；由AD与BC平行得到两对内错角相等，从而得到三角形AEG与三角形GCB相似，且相似比为1：2，得到EG与GB之比为1：2，根据三角形AEG与三角形AGB底边分别为EG与GB时，高相同，故两三角形面积之比为1：2，从而得到S_△ABE=3S_△AGE．故选项④正确，从而得到正确选项的个数为4个．
解答：解：如右图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，BE=DF，选项①正确；
∵E、F是AD、BC中点，
∴DE=AD，BF=BC，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴∠AEG=∠ADH，∠AGE=∠AHD，
∴△AEG∽△ADH，又AE：AD=1：2，
∴AG：AH=1：2，即G为AH中点，
∴EG为△ADH的中位线，
∴EG=DH，选项③正确；
同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线，
∴AG=GH=CH，选项②正确；
又AD∥BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠GBC，
∴△AEG∽△BCG，又AE：BC=1：2，
∴EG：GB=1：2，
∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同，
∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S_△ABG=S_△AGB，
∴S_△ABE=3S_△AGE，选项④正确，
则正确的结论有4个．
故选D
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，本题属于结论开放型题，由已知一定的条件，需探求问题的结论，解题的方法也多样化，解决此类问题往往采用执因索果，逐步推理的方法．