Question

（2012•黄埔区一模）已知抛物线L：y=x²-（k-2）x+（k+1）²
（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x²+12x+9上；
（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；
（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线．问是否存在点D，使△ABD为等边三角形？如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后代入函数解析式中，根据左右两边相等即可作出证明．
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＞x₂，利用求根公式得出两根的表达式，继而表示出AB的长，然后可计算出最大值．
（3）若△ABD为等边三角形，那么点D必在抛物线的对称轴上，即只有抛物线的顶点才有可能符合D点的条件．首先，根据（2）的结果求出A、B、D三点坐标，根据这三点坐标特点判断一下△ABD是否符合等边三角形的特征，若符合，再根据待定系数法求出直线AD的解析式．

解答：解：（1）抛物线L的顶点坐标C是（

k-2

2

，

3k2+12k

4

），
将顶点坐标C代入y=3x²+12x+9，
左边=

3k2+12k

4

，右边=3（

k-2

2

）²+12（

k-2

2

）+9=

3k2+12k

4

，
故可得：左边=右边，
所以无论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x²+12x+9上；

（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，
设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＞x₂，
依题意x_1，2=

(k-2)± (k-2)2-4(k+1)2

2

，
|AB|=|x₁-x₂|=|

(k-2)+ (k-2)2-4(k+1)2

2

-

(k-2)- (k-2)2-4(k+1)2

2

|
=

(k-2)2-4(k+1)2

=

-3k2-12k

=

-3(k+2)2+12

，
由此可知，当k=-2时，AB达到最大值

12

即2

3

，
而k=-2恰好在-4＜k＜0内，
所以A、B间距取得最大值时k的值为-2．

（3）存在．
因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上，
又∵点D在抛物线上，
∴若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点，
当k=-2时，抛物线L：y=x²+4x+1，顶点D（-2，-3），
解方程x²+4x+1=0，得x₁=-2+

3

，x₂=-2-

3

，
所以A（-2+

3

，0），B（-2-

3

，0），
如图，在△ABD中，DB=DA，
E为AB中点，AB=|（-2+

3

）-（-2-

3

）|=2

3

，
∴AE=

3

，tan∠BAD=

3

3

=

3

，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
因为直线y=ax+b经过点A（-2+

3

，0）、D（-2，-3），
所以依题意把k=2代入

a(-2+ 3 )+b=0 -2a+b=-3

，
解得：

a= 3 b=-3+2 3

，
所以所求为y=

3

x-3+2

3

．

点评：该题考查了二次函数综合题，其中的知识点有：函数解析式的确定、根与系数的关系、等边三角形的性质等知识；掌握二次函数与方程的关系以及抛物线的对称性是解答此题的关键．