Question

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．
（1）求证：△ADC≌△ADC′．
（2）求在旋转过程中线段CD扫过图形的面积．（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）利用旋转的不变性可以得到相等的线段和相等的角，从而为证明全等提供必要的条件；
（2）计算旋转的角度可以得到旋转角，代入扇形面积公式计算即可．

解答：解：（1）由旋转可知：AC=AC′，∠CAC′=60°．
在菱形ABCD中，∠BAD=60°
∴∠DAC=

1

2

∠DAB=30°，
∴∠DAC=∠DAC′．
又∵AC=AC′，AD=AD
∴△ADC≌△ADC′；

（2）连接BD交AC于点O，
则BD⊥AC，AC=2AO．
在Rt△AOD中，∠DAO=30°，AD=6，
∴AO=3

3

．
∴AC=2AO=6

3

∴S扇形ACC′=

60×π×(6 3 )2

360

=18π．
∵S扇形ADD′=

60×π×62

360

=6π，
∴CD扫过图形的面积为18π-6π=12π．

点评：本题考查了全等三角形的判定、旋转的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是牢记旋转不变量．